1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… Когда заполнили первый ряд, выяснилось, что одни пишут слева направо, а другие справа налево.

Стали спорить, как надо писать. Положили две доски одну под другой. На одной числа написаны внизу, слева направо, на другой — вверху, справа налево.

Числа, одинаково отстоящие от края, оказались друг против друга. Прямо как на палке у фокусника!

Я попробовал сложить каждую пару, но одинаковых чисел не получилось. Понятно: ведь прогрессия-то не арифметическая, а геометрическая! Тогда я их перемножил и сделал второе открытие: все произведения оказались совершенно одинаковые:

1х128=128;

2х64=128;

4х32=128;

8х16=128.

Да, теперь я уже не тот Нулик, что прежде. Меня и вправду не узнать. А всё ваши письма!

Дальше считать зёрна никто не захотел — кому же охота писать такие огромные числа? Но один Нулик задал интересный вопрос: если на шестьдесят четвёртую клетку надо положить девять с лишним квинтиллионов зёрен, то сколько всего зёрен будет на доске, если, конечно, заполнить все клетки?

— Что тут думать! — сказал другой Нулик. — Всего на доске будет зёрен два в шестьдесят третьей степени. То есть вот эти девять квинтиллионов.

— Ничего подобного, — возразил третий, — девять квинтиллионов будет только на последней клетке, а на всей доске во много раз больше.

Они заспорили, а я снова посмотрел на свою шахматную доску, где в первом ряду написана геометрическая прогрессия: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.

После треугольника Паскаля я вообще стал очень внимательно рассматривать числа — всё время ищу закономерности! Вот и сейчас сложил первый член прогрессии со вторым: 1+2=3. Сумма их оказалась на единицу меньше третьего члена — четвёрки. Потом я сложил 1+2+4. Получилось семь. А это на единицу меньше восьми. 1+2+4+8=15. И это тоже меньше шестнадцати на единицу. Выходит, сумма всех предыдущих членов этой геометрической прогрессии меньше последующего всегда на единицу. А это значит, что на шестидесяти трёх клетках шахматной доски будет столько же зёрен, сколько на последней, шестьдесят четвёртой, только на одно зёрнышко меньше. А всего на доске зёрен будет в два раза больше, чем на последней клетке, минус единица:

22⁶³ − 1.

А это ведь всё равно что

2⁶⁴−1.

Так я сделал третье открытие. И для этого мне не понадобилось ни писать всю прогрессию до конца, ни умножать девять квинтиллионов с хвостиком на два. Так-то!

Нулик-Шахматист.

Волшебная практика

(Сева — Нулику)

Мы чуть не опоздали к началу рабочего дня. И всё из-за Тани. На стройках, говорит, всегда пыль и грязь. Как бы мне, говорит, там не испортить любимого платья в оборочках. Наконец она появилась в комбинезоне и сапогах, на голове косынка, защитные очки. Прямо хоть снимай для газеты: «Знатная электросварщица Татьяна Н.».

Девчонок хлебом не корми — дай надеть какую-нибудь обновку. Я-то знаю, что не платья ей жалко, — просто захотелось покрасоваться в комбинезоне.

Ну и лицо у нее было, когда она увидела, что строительство больше похоже на ухоженную детскую площадку, где ребята заняты разными техническими играми: пилят, вырезают, конструируют… Только «игрушки» здесь были гораздо крупнее. Кружевные стрельчатые краны легко передвигали в воздухе разноцветные пластикатные детали.

К нам подошла нарядная латинская буква Эф. Она удивлённо покосилась на Танин костюм:

— Хотите познакомиться с нашим экспериментальным строительством? Я вас провожу.

Первым долгом поинтересовались, что здесь строят.

— Да всё, что угодно, — ответила Эф. — Дома, машины, бассейны…

Мы залюбовались высоким домом из разноцветных кубиков… Он вырос прямо на наших глазах — ни дать ни взять воздушный замок. И как же мне жалко стало, когда этот замок вдруг рассыпался, а на его месте возникло длинное двухэтажное здание с плоской крышей.

— Охота была строить, а потом разрушать! — подосадовал я.

Но Эф объяснила, что здесь не просто строят, а делают расчёты, которые тут же проверяют на практике. Я подумал, что если это и практика, то, во всяком случае, волшебная.

К нам подошёл солидный карликан, Девятка.

— Здравствуйте, — обратился он к Эф. — Мы строим дом. Нам надо вырыть котлован для фундамента. Имеются три экскаватора. Первый может вырыть котлован за четыре часа, второй — за три, третий — за двенадцать. Через сколько часов будет готов котлован, если все три экскаватора работают одновременно? Это очень важно! Без этого я не смогу составить график строительства.

— Обратитесь к Главному Составителю, — ответила Эф.

Мы переглянулись.

— Нельзя ли и нам повидать Главного Составителя? — спросила Таня.

— А вы разве умеете решать уравнения? — поинтересовалась Эф.

Таня только покраснела. А я сказал напрямик, что мы об этом понятия не имеем.

— В таком случае вам придётся начать с азов! Чтобы решать уравнения, следует прежде всего познакомиться с отрицательными числами.

Ну, это-то мы знали!

Эф облегчённо вздохнула:

— Тогда я могу зачислить вас на строительство в качестве практикантов.

— И мы сейчас же начнём составлять уравнения? — брякнул я.

— О, до этого далеко. Сперва придётся поработать в весовой.

Что ты скажешь? Опять отсрочка! В кармане лежит готовая задача, а ты, изволь радоваться, работай весовщиком!

Эф заметила, как мне досадно.

— В нашем деле лучше не торопиться, — сказала она, — это верный способ сэкономить время.

Ничего не поделаешь, пошли в весовую. Кстати, я давно не взвешивался. А в этой Аль-Джебре похудеешь!

Сева.

Весовая

(Таня — Нулику)

Что ни говори, Нулик, Аль-Джебра — удивительное государство! Вчера были в современном кафе, сегодня на сверхскоростном строительстве, и вот не успели опомниться, как попали в гости к древнему восточному кудеснику.

Как ты себе представляешь весовую? Большой амбар, тяжёлые неуклюжие весы. У весов — дюжий весовщик в брезентовом фартуке и рукавицах. А вокруг — мешки, ящики, корзины…

Так вот, ничего подобного не было. Нас ввели в полутёмный сводчатый зал с тонкими витыми колоннами, такой высоченный, что потолка не видно. Будто над тобой ночное небо, только без луны и звёзд. Вместо них в полумраке светятся какие-то закорючки и загогулины. Должно быть, восточные письмена. Посреди зала — большие старинные весы: тяжёлые медные чашки, подвешенные на цепях к концам металлического коромысла. Весы тоже сплошь в закорючках и загогулинах. Они парят в воздухе, как большая диковинная птица. А между чашками, словно глазок радиоприёмника, сверкает зелёный кошачий глаз.

— Садитесь, — шепнула Эф.

Мы оглянулись: ни стульев, ни кресел. Только несколько пёстрых ковриков на полу. Эф уселась на одном из них, скрестив ноги. Мы сделали то же самое.

Вам! Что-то зазвенело — будто стукнулись два медных подноса, — и из темноты вынырнула фигура в длинном чёрном балахоне с жёлтыми разводами. На голове — белая шёлковая башня. Называется тюрбан. И борода у него тоже белая и шелковистая.

— Главный Весовщик, — шепнула Эф. — Следите за ним внимательно.

Весовщик приложил руку к сердцу и поклонился. Мы тоже приложили руки к сердцу и поклонились. Потом он взмахнул палочкой, и на каждой чашке весов появилось по Семёрке — обе в светящихся костюмах. Я так на них загляделась — даже не заметила, что в кошачьем глазке засветились две чёрточки. Эф легонько толкнула меня локтем.

— Это знак равенства. Семь равно семи, — негромко сказала она.

— Уж конечно, не восьми, — фыркнул Сева.

Но тут Весовщик снова взмахнул палочкой, и на правой чашке весов вместо Семёрки оказалась Восьмёрка. Чашка сразу опустилась. Мы взглянули на зелёный глазок: чёрточки знака равенства соединились слева и образовали уголок: